醫聲論壇

求1111......1111 ( 共2002個1)除以13之餘數為何??
Ans:6

谷哥教的：

餘數定理：設正整數 x, y 除以 a 之餘數分別為 r1, r2 , 則
(1) x + y 除以 a 之餘數恰為 r1+ r2 除以 a 之餘數
(2) x ⋅ y 除以 a 之餘數恰為 r1⋅ r2 除以 a 之餘數

1 ÷13 --餘1
11÷13 --餘11
111÷13 --餘7
1111÷13＝71÷13 --餘6
11111÷13＝61÷13 --餘9
111111÷13＝91÷13 --餘0
1111111÷13＝1÷13 --餘1 第7次開始循環...

2002÷6 --餘4
第4序列-->餘數是6

甘溫

bactrim 寫:谷哥教的：

餘數定理：設正整數 x, y 除以 a 之餘數分別為 r1, r2 , 則
(1) x + y 除以 a 之餘數恰為 r1+ r2 除以 a 之餘數
(2) x ⋅ y 除以 a 之餘數恰為 r1⋅ r2 除以 a 之餘數

1 ÷13 --餘1
11÷13 --餘11
111÷13 --餘7
1111÷13＝71÷13 --餘6
11111÷13＝61÷13 --餘9
111111÷13＝91÷13 --餘0
1111111÷13＝1÷13 --餘1 第7次開始循環...

2002÷6 --餘4
第4序列-->餘數是6

真厲害

小女快上國中了，趕快惡補一下 (壓力)

亂入另解-1:

中學生應知: 13 整除 111111 (依十進制13倍數判別法，原理是 13 整除 1001)

⇒ 由左開始，每 6 個 1 捨去，剩 1111。以下可直接作除法，或:

⇒ 1111 → 110 → 6


亂入另解-2:

原式 = (1/9) x (10²⁰⁰² - 1)

1/9 ≡ 3 (mod 13)

10²⁰⁰² - 1 ≡ 3²⁰⁰² - 1 ≡ 3¹⁰ - 1 ≡ 3-1 ≡ 2 (mod 13)

上下同側藍字相乘，原式 ≡ 6 (mod 13)

vancin 寫:亂入另解-1:

中學生應知: 13 整除 111111 (依十進制13倍數判別法，原理是 13 整除 1001)

⇒ 由左開始，每 6 個 1 捨去，剩 1111。以下可直接作除法，或:

⇒ 1111 → 110 → 6


亂入另解-2:

原式 = (1/9) x (10²⁰⁰² - 1)

1/9 ≡ 3 (mod 13)

10²⁰⁰² - 1 ≡ 3²⁰⁰² - 1 ≡ 3¹⁰ - 1 ≡ 3-1 ≡ 2 (mod 13)

上下同側藍字相乘，原式 ≡ 6 (mod 13)

解-2看無 （賊）太難了

(≡?mod? )

好帥的數學......

1/9 ≡ 3 (mod 13)
請問這句的意思是.......
(眼汪汪)

image 寫:
解-2看無 （賊）太難了

(≡?mod? )

" ≡ " 是同餘符號，"餘數相同"的意思。

a ≡ b (mod n) 等同於: a 與 b 除以正整數 n，兩者所得的餘數相等。

hjh 寫: 1/9 ≡ 3 (mod 13)
請問這句的意思是.......
(眼汪汪)

之前看到"分數型"同餘也覺得怪，後來推測大概是這樣:

a, b, c 皆整數，若 c (≠0) 與 p 互質，定義: a/c ≡ b (mod p) ⇔ a ≡ bc (mod p) [這個"定義"是我猜的]
這樣定義下，同餘式的基本性質 (和與積) 皆可保持。

把 1 ≡ 3x9 (mod 13) 改寫為 1/9 ≡ 3 (mod 13) 只是圖方便。

當然也可不用分式寫法:

原式 = (1/9) x (10²⁰⁰² - 1)

1 ≡ 3x9 (mod 13)

10²⁰⁰² - 1 ≡ 3²⁰⁰² - 1 ≡ 3¹⁰ - 1 ≡ 3-1 ≡ 2 (mod 13)

上下同側藍字相乘: 10²⁰⁰² - 1 ≡ 6x9 (mod 13)

兩側同除以與 13 互質的 9 ⇒ 原式 ≡ 6 (mod 13)

vancin 寫:

hjh 寫: 1/9 ≡ 3 (mod 13)
請問這句的意思是.......
(眼汪汪)

之前看到"分數型"同餘也覺得怪，後來推測大概是這樣:

a, b, c 皆整數，若 c (≠0) 與 p 互質，定義: a/c ≡ b (mod p) ⇔ a ≡ bc (mod p) [這個"定義"是我猜的]
這樣定義下，同餘式的基本性質 (和與積) 皆可保持。

把 1 ≡ 3x9 (mod 13) 改寫為 1/9 ≡ 3 (mod 13) 只是圖方便。

當然也可不用分式寫法:

原式 = (1/9) x (10²⁰⁰² - 1)

1 ≡ 3x9 (mod 13)

10²⁰⁰² - 1 ≡ 3²⁰⁰² - 1 ≡ 3¹⁰ - 1 ≡ 3-1 ≡ 2 (mod 13)

上下同側藍字相乘: 10²⁰⁰² - 1 ≡ 6x9 (mod 13)

兩側同除以與 13 互質的 9 ⇒ 原式 ≡ 6 (mod 13)

查到"同餘的性質" 1.2(3看不懂)
https://zh.wikibooks.org/zh-tw/%E5%88%9 ... C%E9%A4%98

1 ≡ 3x9 (mod 13)

1的667次方 ≡ 3x9的667次方(次方怎麼打?XD)≡ 3的2001次方

10²⁰⁰² - 1 ≡(13- 3)²⁰⁰² - 1≡ 3²⁰⁰² - 1 ≡ 3¹ - 1 ≡ 3-1 ≡ 2 (mod 13)

上下同側藍字相乘: 10²⁰⁰² - 1 ≡ 6x9 (mod 13)

兩側同除以與 13 互質的 9
是這樣嗎?

image 寫: 查到"同餘的性質" 1.2(3看不懂)
https://zh.wikibooks.org/zh-tw/%E5%88%9 ... C%E9%A4%98

1 ≡ 3x9 (mod 13)

1的667次方 ≡ 3x9的667次方(次方怎麼打?XD)≡ 3的2001次方

10²⁰⁰² - 1 ≡(13- 3)²⁰⁰² - 1≡ 3²⁰⁰² - 1 ≡ 3¹ - 1 ≡ 3-1 ≡ 2 (mod 13)

上下同側藍字相乘: 10²⁰⁰² - 1 ≡ 6x9 (mod 13)

兩側同除以與 13 互質的 9
是這樣嗎?

現查現用 --

因 3³ ≡ 1 (mod 13)，可將 3³ 用 1 取代，第二式逕作:

10²⁰⁰² - 1 ≡ 3²⁰⁰² - 1 ≡ 3¹ - 1 ≡ 2 (mod 13)

看不懂...... (咦)
這種題目放棄比較快 （賊）

andy5824 寫:看不懂...... (咦)
這種題目放棄比較快 （賊）

心裡這樣想
不能這樣跟小孩講
（賊） （賊）


幸好其他解法還看得懂...
(擦汗)

V大的程度 常常省略很多他認為很容易懂可以省略的說明...... （賊） （K書）